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职前数学教师函数知识掌握情况的调查研究(2)

添加时间:2016/10/19 来源:未知 作者:admin
3、结果 3.1、职前教师对函数知识理解的深度 理解的深度指相关题材与更为基本、深刻的数学思想之间的联系,也就是从具体内容和对数学认识过程中抽象概括出来的对数学知识本质的认识。函数从最早以表格、曲线形态呈
以下为本篇论文正文:
  3、结果

  3.1、职前教师对函数知识理解的深度

  理解的深度指相关题材与更为基本、深刻的数学思想之间的联系,也就是从具体内容和对数学认识过程中抽象概括出来的对数学知识本质的认识。函数从最早以表格、曲线形态呈现的到 17 世纪左右表示依赖于一个变量的量,发展到 18 世纪中叶表示对应,再到 19 世纪布尔巴基学派把函数概念严格化,函数的概念经历了一个不断改造和完善的过程。

  职前数学教师对于函数概念的认识也是从初中学习的直观、生动的“变量间的依赖”到高中较完善的“非空数集之间的对应”,再到大学函数概念的严格化。测试卷中第 2 题是给出函数的定义。86% 的被试给出了回答,结果大致可以分为以下几种情况:( 1) 用变量间的依赖观点给出定义; ( 2) 用非空数集间的对应观点给出定义; ( 3) 从含有未知数的表达式角度给出定义; 其中给出正确回答的仅占 32. 4%,其他均有不同程度的错误,主要集中在以下三个方面:

  将函数与代数式、等式混淆; 不注意函数概念中的任意性和唯一性; 将函数与映射混淆。进一步的访谈中了解到,对于这样的错误,被试给不出合理的解释。14%没有回答的被试表示自己已经忘了函数是什么。要求给出函数定义后结合实际背景举例,只有 34. 9%的被试举例,而且仅仅说出一些可能有函数关系的问题,但并没有给出具体的函数。

  测试卷中第 5 题是判断两个函数是否为同一个函数,97. 7%的被试回答了该题,其中 26. 2% 回答正确,73. 8%回答错误。错误的原因大致分为以下几类: 这两个函数定义域不同,甚至认为函数 y = 1 的定义域不存在; 两个函数的值域不同,y = ( sinx)2+( cosx)2在一定条件下才能使函数值为 1; 对应法则不同,这是两种不同的函数,一个是常值函数,一个是三角函数; 图像不同,变化趋势不同。进一步访谈中了解到,产生这种结果的原因是被试都是从函数的三要素来判断是否为同一个函数,未能掌握其本质,不能很好地变通。实际上相等的两个函数应该有相同的定义域,并且对于定义域中的每一个自变量,对应的函数值都相等。

  3.2、对函数理解的宽度

  理解的宽度表示知识横向联系的广泛度。就函数知识而言,能联系的有函数的性质、函数的图像、基本初等函数、函数与导数的关系等。测试卷第 3 题是函数单调性的判定及理解。97. 7% 的被试给出了判定的方法,提到按定义判断、用导数判断、图像法和反函数法,其中仅 50% 给出两种方法。有 86%的被试结合实例去判断函数的单调性,其中仅 73%判断正确,27% 判断有误,错误的主要原因有: 定义不清楚; 单调区间划分有误; 做图错误; 导数计算错误。

  对于“理解单调性概念应注意什么”的回答,仅46. 5% 的被试回答了该问题,其中 95% 提到了定义域,10%提到了 x1,x2的取值具有任意性和函数的单调区间,5%提到要注意驻点。访谈中了解到没有回答的被试觉得自己根本说不清如何回答该问题。

  测试卷第 4 题是有关函数图像。95. 3% 的被试回答了该问题,其中 21. 9%认为该回答正确,理由是两点间有且仅有一条直线; 78. 1% 认为该回答错误,满足图像条件的函数不止这一个,并且举出其它例子,有分段函数、二次函数、三角函数、反比例函数、圆的图像及高次函数,其中有个别被试是结合图像举例的。测试卷中的第 1 题是利用导数图像判断函数的性质,100%的被试回答了该题,其中 74. 4% 回答正确。进一步访谈中了解到被试判断错误是由于没有注意驻点。

  3.3、对函数理解的完整度

  只有掌握知识的基本结构,才能把握住知识体系的核心和关键,才能避免“只见树木不见森林”的现象。第二次访谈中,从 83 名被试中随机抽取 20名绘制函数概念图,并提示概念图中应该包含能想到的与函数相关的所有知识,以此来考察职前数学教师对于函数及其相关知识理解的完整程度。

  从绘制结果来看,有 55% 的被试基本是按照初高中所学习的函数内容和框架绘制,从函数的概念、表示方法、分类、应用这几个方面进行联结,其中有27. 3% 还提到了大学阶段所学知识点,如极限、函数的凹凸性、积分等。但是,有 35%的被试绘制的概念图只涉及到不同类型的函数,大致包括正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数、幂函数的名称和解析式; 有 10%的被试绘制的概念图中只显示了少部分和函数相关的知识点,而且知识点之间没有有效的联结。

  可以看出,绝大多数被试在绘制概念图时只能联系起初中高中所学的与函数相关的知识,而且不完整甚至有错误,更谈不上良好的知识结构的建立。仅有少部分被试除了初高中的相关知识外还能联系大学所学的知识,但是关联到的知识点甚少且模糊不清。

  4、讨论

  从函数概念考察职前数学教师对函数知识理解的深度。数学概念是反映数学对象本质属性的思维产物,也就是事物变化过程中保持不变的属性,是该类事物共有和特有的稳定属性。掌握数学概念的本质,既要静态地分析其定义形式,又要在比较、变化中揭示其内涵。调查结果显示,职前数学教师理解函数概念时候习惯使用“变量间的依赖”观点和“非空数集间的对应”观点,基本想不到更严格的函数的定义,但是这种理解是片面的,不考虑自变量的任意性和对应函数值的唯一性,不提函数是在实数域中讨论的,使得函数与映射的概念混为一谈; 大部分职前数学教师连正确的表述都不能做到,而且表述中鲜有用符号语言给出定义的; 还有一部分对解析式、等式、函数之间的关系不清楚; 函数的本质属性是从具体函数的现实背景中抽象概括来的,但是大部分的职前数学教师并不考虑函数的现实背景,更不要说剖析各种不同的函数抽象概括共同属性。近 80%的职前数学教师不能正确地判断两个函数是否为同一个函数,这是不能把握概念本质的表现。这表明,职前数学教师对于函数概念的理解不够深刻,尤其是对于概念的本质把握不好,符号意识不强,大学期间学习的课程对他们理解函数知识的帮助不明显。

  从函数的性质、图像及与导数间关系等相关知识考察职前数学教师对函数理解的宽度。调查结果显示,虽然职前数学教师能给出不同的方法判断函数的单调性,但多局限于用定义和导数判断,只有个别人提到图像法和反函数法。对函数单调性的理解上大部分职前数学教师混淆函数的定义域和单调区间,不考虑单调区间内自变量的任意性。结合具体实例判断的时候有 27% 的职前数学教师判断错误,究其原因,一方面是对函数单调性概念理解不到位,另一方面是作图和计算上的错误。职前数学教师对于函数图像的认识还是较好的,绝大部分能结合基本初等函数的图像说明问题,只是在表述的时候不习惯用符号和图像说明事实; 职前数学教师对原函数与其导函数的关系掌握得较好,大部分能利用导函数图像的特征来判断原函数的性质。这表明,职前数学教师对于函数知识的理解有一定的纵向联系能力,其中对于函数性质的掌握存在一定问题,对于函数的图像和与导数的关系掌握相对较好。但是对各部分知识理解不够深入一定程度上影响了理解的宽度。

  从函数知识与相关知识的关联度考查职前数学教师函数知识的完整度,数学家华罗庚先生说过:“既要能把书读厚,又要能把书读薄”,读厚是要把每一细节的问题搞清楚想明白; 读薄是要能抓住知识间的内在联系,能融会贯通,透过繁杂的现象,抓住本质来简化记忆。如果职前数学教师能通过知识之间的联系,把个别的离散的知识构造成浑然一体的系统,将大大利于以后的学习和发展。调查结果发现,虽然大部分职前数学教师能做到初高中所学的函数相关知识的关联,但是这种关联并不理想,更谈不上知识的整体性与知识间的普遍联系,表明职前数学教师的知识还是零碎的,不完整的,处于“只见树木不见森林”的状态,也就自然做不到融会贯通、触类旁通,不能把握知识的主线和基本脉络。

  5、结论及建议

  以上结果向我们呈现了职前数学教师对函数知识理解的状况,职前数学教师对函数知识理解不够深刻,尤其不能很好地把握知识的本质; 职前数学教师虽然有一定的知识间的横向联系能力,但是对于具体知识的理解不深刻一定程度上影响了这种能力; 职前数学教师的知识处于零散的、不完整的状态,大部分职前数学教师对于函数知识的认知还停留在初高中阶段。按理说,接受了高等教育,职前数学教师的数学基础应该更扎实,看待初等数学的问题应该更透彻,但显然他们不能做到对于数学基础知识的深刻理解。为此,针对职前数学教师的培养提出如下建议:

  第一,更新课程内容的设置。基础教育课程的改革和教师专业化的发展,为职前数学教师的学习提出了新的要求,学习的课程不仅要满足时代发展,还要为以后的工作打好基础。因此课程的设置首先该关注基础教育的数学课程内容,依托高等数学中的内容帮助职前数学教师更好地理解基础教育数学课程中相应的内容。应注重初等数学研究、数学史、数学方法论等教学专题,有助于加深职前数学教师对数学基础知识的理解,弄清楚数学知识的来源和发展,形成完整的知识体系。

  第二,改变教学方式。教法与学法是相互制约、相互影响的,传统讲授法的教学效果并不理想,而且会直接影响职前数学教师以后的教学方式。因此,专业课教师应该注意职前数学教师完整学科体系的建构,授课时不必刻意追求数学知识的逻辑性,可尝试突出知识的背景,渗透数学思想方法,注重“启下”,以凸显专业课的优势。课堂中可以安排数学活动,鼓励学生通过积极主动地参与来完成知识的建构,通过师生之间的互动交流来夯实基础,实现真正的教学相长。

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