新疆南疆少数民族中小学生数学学科能力表现与培养策略研究

　　摘 要：数学学科能力表现围绕数学学科核心能力展开，是学生数学学习中表现的比较稳定的心理特征和行为特征，也是可观察的和外显的学习质量和学习结果。数学学科能力体现了学生内隐的数学学科思维和外显的数学学科行为相结合的数学学科素养。因此，建构以能力为导向的理解性教学，关注学生已有的活动经验，创建良好的数学学习共同体，培养学生的数学学科素养，是提高少数民族地区数学教学质量的有效途径。
　　
　　关键词：少数民族学生；数学学科能力表现；培养策略。
　　
　　2010 年，《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010~2020）》把“提高质量”作为教育改革发展的核心任务。2012 年，教育部“民族地区中小学理科课程教学改革”研讨会上提出“全面提高民族地区理科教学质量”.2016 年，新疆自治区南疆教育质量提升工作推进会上强调“‘十三五’期间要把质量提升作为南疆教育的工作重点和核心任务，把更多的时间、精力和资源用在内涵建设上。”[1]秉持以能力为重、促进学生全面发展的教育理念为提升新疆南疆地区教学效益和教育质量指明了方向。作为“海峡两岸能力生根计划”①中的一部分，本文以学科能力表现为切入点，实证考察南疆少数民族中小学生数学能力表现的水平（认识多元文化对学生数学学习影响，学生数学学习的特点和规律，南疆地方数学教育与北疆、内地以及民汉间差距产生原因），并在此基础上提出培养少数民族学生数学学科能力的策略。
　　
　　1 数学学科能力表现。
　　
　　1.1 理论基础。
　　
　　SOLO 分类理论是数学学科能力表现的理论基础。Biggs提出“可观察的学习成果结构”（structure of the observedlearning outcome）理论，并认为“经某个问题所表现出来的思维结构是可以检测，并能确定思维结构所处的层次”[2].可观察的学习结果的学习质量分类理论从能力、思维操作、一致性与闭合、应答结构四个方面，将学生的行为结果分为前结构、单点结构、多点结构、关联结构、抽象扩展结构五个不同水平评价学习质量，注重学习结果在结构上的复杂程度对学习质量的影响。基于 SOLO 分类理论，数学学科能力可转化为可观察的和外显的学习质量和学习结果，从学生数学问题解决活动过程与结果的思维结构上评价学生的数学学科能力表现水平。
　　
　　1.2 数学学科能力表现内涵。
　　
　　数学学科能力是学校数学教育中师生作用下的，以获得数学学科知识学习的能力，是数学学科知识性质与学习过程差异表现的特殊能力。 数学学科能力表现是围绕数学学科核心能力展开的，是在数学学习过程中表现的比较稳定的心理特征和行为特征，体现由内隐的数学学科思维过程和外显的数学学科行为相一致的数学学科素养，是可观察的和外显的学习质量和学习结果。 作为数学学科素养和学业成就的重要组成部分，数学学科能力表现体现学生学科学习质量、学科性质的维度和数学学科课程标准的发展。
　　
　　2 研究对象与方法。
　　
　　2.1 研究对象。
　　
　　研究样本来源于新疆南疆喀什市、和田市和阿图什市的六所双语实验中学八年级学生。按照在校生比例分配样本数，以班级为单位整体取样。选取八年级发放问卷及测试卷 480 份，回收 473 份，回收率为 98.5%.测试过程中为保证获取信息的有效性，辅以测试说明和测试指导语。测试由经过培训的参研人员到各地进行现场指导。测试卷、问卷统一进行批改。同时，结合课堂观察，搜集学生成长记录袋、教师评价，获取研究数据和原始资料。
　　
　　2.2 研究方法。
　　
　　综合研究文献资料，明确相关研究的现状与不足。编制《中小学生数学学科能力表现测试卷》、《数学学习情况调查问卷》、《教师调查问卷》和访谈提纲。采用课堂观察法，制作数学课堂观察量表。为保证测试语言的等值，将调查问卷和访谈提纲翻译成待测试学生的母语。
　　
　　2.3 研究工具。
　　
　　2.3.1 问卷设计。
　　
　　问卷设计划分为两个部分，第一部分：关于数学学习的情感态度，学生数学学习观，数学学习行为表现和方法运用，影响数学学习的因素；第二部分涉及学生的家庭生活和学校学习背景，学习动机和预期。问卷的试测安排在相隔 20天对同一组学生施测，求得实得分数的相关系数大于 r0.05,表明问卷的再测信度良好。 使用三角剖分法检测问卷效度的结果表明，问卷的效度良好。测试卷的知识点控制于学生已学的知识范围内，选择主观性、涉及“数与量及其关系”的实际问题，主要测量学生数学问题解决能力和数学表达能力。以 SOLO分类理论为依据，设计测试卷评分标准，按照每个问题的不同表现，分为四个等级水平并赋分。试测的克伦巴赫系数为 0.79,说明测试卷有较好的信度，能正确反应被试的程度。测试卷效度采用评分一致性考查法，通过计算不同评分者之间评分的一致性程度，发现两个独立评判者的符合程度较高，表明测试有较好的效度。
　　
　　2.3.2 课堂观察。
　　
　　课堂观察量表设计以数学能力的培养为焦点，关注教师教学目标的确定、教师教学方法的选择和课堂教学行为及学生课堂行为表现。对六节常规数学课进行课堂观察，按照课堂观察量表记录数据，便于定性和定量分析。
　　
　　3 调查与结果分析。
　　
　　3.1 问卷结果分析。
　　
　　3.1.1 数学学习的情感态度。
　　
　　数学学习的情感态度作为学习的非智力因素，影响学生的数学学习。问卷中 1~5 题以及 19 题主要涉及学生对数学学习的兴趣、上数学课和考试时的情绪。调查结果表明，91.1%学生表示对解答数学问题有兴趣，觉得数学学习很快乐；95.6%学生认为，虽然学习数学有些枯燥，能取得良好的成绩还是很高兴；76.4%学生喜欢上数学课。 说明学生明确数学考试的选拔功能，为取得好成绩投入更多是值得的。不过有 23.6%学生不喜欢上数学课；85.4%学生在数学考试时，遇到不理解的数学知识就会很紧张；86.8%学生担心自己的测验分数不理想；70.5%学生认为数学学习很困难。数学学科除了选拔功能，还有重要的文化功能和育人功能。应试环境中的过度竞争和过大的心理压力下学生的数学学习动机是难以长久维系的，既使是生搬硬套、死记硬背的数学知识，也会增加学生的学习负担，不能转化为问题解决的能力。
　　
　　3.1.2 数学学习观。
　　
　　数学学习观是学生对数学学习的看法。 问卷 10~13 题涉及学生应该如何安排自己的数学学习、怎样才能学好数学和掌握解决数学问题的方法。 调查结果表明，82.3%学生按照教师的安排学习，教师教什么就学什么；80.6%学生一般用和老师相同方法解决数学问题；90.4%学生认为反复解题记忆数学知识是学习数学的最好方法；45.2%学生认为记忆数学知识比理解它更有效。可见，学生数学学习中对教师的信任和依赖较大，包括学习内容安排和方法。大部分学生认可大运动量的数学解题操练，认为记忆数学知识解题是好的学习方法。 近一半的学生没有意识到数学理解比记忆知识点更重要，只有在理解基础上的记忆，才能实现知识的灵活运用，促进自我数学能力的发展。
　　
　　3.1.3 影响数学学习的因素。
　　
　　影响数学学习的因素是多方面的，问卷 17、18、20 和21 题关注教材、家庭和语言因素对学生数学学习产生影响。
　　
　　30.8%学生表示教师的汉语表达水平影响自己的数学学习，95.4%学生认为数学课本的内容和形式很适合自己学习，33.8%学生认为家庭环境影响自己的学习，33.9%学生认为语言问题总是会增加自己数学学习的负担。由此可见，家庭环境和语言因素对部分学生的数学学习产生影响。 尤其是对于汉语水平较差的学生，单项选择问题的数据表明：26.2%学生先用母语思考，再翻译成汉语；16.9%学生先用汉语思考，然后用母语思考；12.3%学生一直用母语思考，结果用汉语表达。 母语和汉语的互译转换给学生的数学学习增加负担。
　　
　　3.2 测试卷的结果分析。
　　
　　测试卷中的问题涉及运算（P1）、归纳推理（P2,P3）、空间想象（P3）、有实际背景的应用题（P4）和涉及简单公式的运用和说理的问题（P5），通过学生问题解决过程的表现评价数学问题解决能力，以及学生对所有问题的解答和说理，评价学生的数学交流表达能力水平。
　　
　　（1） P1（算一算）的正确率为 67.7%.其中，能力表现处于第 3 等级的学生占 89.6%,用解方程的方法，大多数学生将题目中 △ 符号换成 x 后，先计算等式左边，再计算等式右边，能够时刻记住等式中各部分间的关系，运用带括号的运算律，通过一系列算术计算结果，正确求得△ 的值。能力表现处于第 4 等级的学生仅占 10.4%,能够做到不收敛，灵活应用法则及运算律，直接解决问题（如图 1）。
　　
　　（2） P2（多少次握手）的正确率为 26.2%,其中 50%学生能够结合图形，列出算式，给出正确解答，处于能力表现的第 4 等级水平（如图 2）。3.8%学生直接套用公式；46.2%学生没有任何解释，直接列出算式，处于能力表现的第 3 等级水平（如图 3）。
　　
　　（3） P3（露在外面的面）的正确率为 17.2%,能够写出当正方体个数为 1、2、3 时，露在外面的面数，归纳推理寻找规律，并比较清晰地说明理由，处于能力表现第 4 等级的学生占其中的 23.5%（如图 4）。还有学生理由表述为“因为每个正方体在四个四个的增加，所以（4n）+1”;“因为每个正方体在三个三个的增加，所以（3n）+2”.虽然表达含糊，但可以看见他们自我表达的努力。有 15.2%学生能够正确写出当正方体个数为 1、2、3 时，露在外面的面数，但不能推广到一般，并且理由表达混乱（如图 5）；有 54.5%学生理解“露在外面的面”就是测试卷三视图中可见的面，出现当正方体个数为1 时，露在外面的面数为 3 的错误。
　　
　　（4） P4（爬山）的正确率为 16.2%.其中处于能力表现第4 等级的学生，能够运用多种表征方法系统阐述问题；基于问题信息有效提取，准确建立简单路程模型；问题解决有效实施；清晰并逻辑地说明问题的解法；能够用多种方法表达数学思想（如图 6）。处于能力表现第 1 和第 2 等级的学生因为实际问题涉及地理名称和盈余的数据而受到困扰，不愿阅读或者难以理解，并成功排除干扰，提取问题中的关键信息。 部分学生在将下午 8 点由 12 小时制转化为 24 小时制时出现错误（如图 7）。
　　
　　（5） P5（立方体）的正确率为 32.3%.处于能力表现第 4等级的学生除了正确套用公式外，还能通过举反例，类似“因为边长为 6 的立方体表面积和体积相等”,“当时 a=1,v=1,s=6,所以无论立方体尺寸怎样，你计算它表面积获得的数字是它的两倍是错的。”还有学生回答“不对，认为只有每边长为 3 cm 的立方体的表面积才会是它体积的两倍。”
　　
　　有 43.1%学生能够正确套用公式，但一些学生认为“立方大于平方，27 cm3>54 cm2”,无法确定倍数关系；一些学生就第（3）个问题没有做出判断并说明理由。还有学生认为是正确的（如图 8）。
　　
　　测试结果表明，大部分学生能力表现处于低层次水平。
　　
　　学生善于通过固定的运算步骤，调用记忆中的公式解决问题，不善于说理和表达自己的思维过程。由于掌握的知识点是孤立的，在问题解决过程中不能做到新情境下知识的有效迁移，当记忆中的步骤和公式不能顺利调用时，就无法应对新的问题。由于没有掌握概念、法则和公式背后的数学思想方法，依靠大量做题、死记硬背记住的数学知识，并不能有效地提高学生的问题解决能力；由于缺乏数学阅读和表达的训练，掌握多种数学表征方式的缺失，导致少数民族学生的数学表达和交流能力处于低层次水平。 课堂观察的结果也从另一个角度获得了类似的数据。
　　
　　3.3 课堂观察结果分析。
　　
　　3.3.1 数学任务的认知水平。
　　
　　教师教学设计和实施的教学目标，主要反应在课堂选择的数学任务上。所谓数学任务[3]包括记忆型、无联系的程序型、有联系的程序型和做数学。前两种属于低认知水平，后两种属于高认知水平。观察结果表明，教师课堂教学布置的任务中，大多数是记忆和无联系的低认知水平数学任务。详见表4.
　　
　　3.3.2 课堂提问类型。
　　
　　“问题是数学的心脏”,数学课堂应该以“问题串”贯穿始终，问题的类型和质量关系到学生数学能力培养。问题水平从低到高分为三类：简单用“是”或“否”回答的疑问，启发学生思路的问题，促进学生反思和发现新问题的问题。观察结果表明，教师更多地提问类似“对不对”、“是不是”和“懂没懂”等简单判断并群答的问题。还有部分问题用于启发学生思路，但属于希望学生能够给出教学设计中预期答案的问题。详见表 5.
　　
　　3.3.3 数学知识的表征方式掌握多样化的数学知识的表征方式是数学表达能力的重要影响因素。 多样化的数学知识表征有利于加深数学理解，增进记忆，形成结构化的数学知识，发展学生的联想能力。比如，打通图像表征与符号表征的关系，可以促进几何直观能力的形成。教师教学中数学知识表征方式的多样化，影响学生数学理解、表达与能力的发展。观察结果表明，教师更多地关注数学知识的抽象性质---符号表征，不能很好的运用行为表征和图形表征帮助学生深度理解数学，基于学生已有的经验建立数学图像与符号间的紧密联系。
　　
　　3.3.4 教师的课堂回应方式。
　　
　　教师的回应方式影响课堂平等氛围的创建、学生数学学习的动机和情感态度和课堂教学环节的自然与连贯。对学生的行为表现，教师的回应方式从低级到高级分为三类：
　　
　　简单判断正误，给予表扬、鼓励和督促；从内容和数学知识点的角度，分析正确或错误的理由；借助学生已有的知识和经验进行引导与启发。观察结果表明，教师的回应方式更多的是简单判断正误的评价，即使说明理由也是结合所学知识点进行分析，没有充分地关注学生已有的知识和经验水平，借助学生已有的经验，促进构建自己的经验网络。
　　
　　4 数学学科能力培养策略。
　　
　　4.1 以能力为导向的数学理解教学。
　　
　　能力培养是以扎实的数学知识理解和结构化的数学知识建构为基础的。首先，教师要树立正确的数学观和数学教学观。在教师数学教学观引导下，学生才能树立正确的数学学习观，并正确认识数学的本质，从而调动数学学习的积极性。数学不是静止的准确的知识堆砌，而是动态和易谬的。数学与人类的活动紧密联系，构成独立的文化体系。相应地，数学理解教学要在学生知识学习的基础上，掌握知识背后的思想方法，感悟数学的理性精神和魅力，认识数学与其他学科的密切联系，体会数学在生产生活实践中的应用价值，切实提高学生的数学能力水平。其次，教师要树立数学教学活动观。一直以来人们认为数学教学是数学知识的教学，数学知识是可以传递的。其实，只有显性的数学知识可以传递的，隐性的数学知识，包括数学活动经验，只能依靠学习者在数学活动中的经历和体验“.什么样的知识最有力量？”当知识转化为能力才能体现知识的真正力量。 然而数学能力是不能传递的。 如何帮助学生将知识转化为能力就需要教师树立数学教学活动观。教师设计合适的活动，为学生提供参与“数学化”、“再创造”和“反思”的数学活动机会。再次，教师要树立过程评价观。 学生数学学习的评价不仅指结果评价而且也指过程评价；评价不仅是甄别和选拔的工具，更具备促进学生自我评价、改进学习和促使教师改进教学的重要功能。中小学数学教师结合数学教学内容，在充分学习和研究学校数学课程基础上，结合教学对象编制有针对性的《数学学习过程评价标准》，做到细致分析每个教学内容和单元中，知识点与能力培养、活动经验积累之间的联系。
　　
　　比如，小学数学《分数的初步认识》的内容教学，主要培养学生的几何直观能力、抽象概括能力、图形及其性质认识的空间能力和思维能力。 丰富学生的观察和操作的活动经验以及模式发现和识别、数学交流表达的活动经验。为实现这样的教学目标，教学内容设计应体现在以下方面：（1） 在新旧知识的衔接中引入分数概念。 分数概念的形成与整数的除法密切相关。当被除数小于除数时，为将运算进行下去，就引入了分数概念，强调了分数概念的关键是“平均分”（。2）让学生尝试“记分数”,认识分数的记法是人为的规定。体会数学是数学共同体活动的成果，理解数学是世界通用的语言（。3） 为学生提供“折一折，画一画”,用图形表达分数的开放性活动。学生参与运用折叠方法，将规则和不规则但对称的图形平均分，再画出分数对应的阴影部分的活动，加深对“分数”概念的认识，丰富数学活动经验（。4） 由部分推断整体的逆向思维问题，引导学生对分数概念的反思，培养学生的数学思维能力。数学学习的过程评价标准，是作为教师以能力为导向的教学依据、学生和家长自我评价的参考标准。
　　
　　4.2 关注学生已有的经验，在活动过程中培养数学能力。
　　
　　皮亚杰的认知发展理论指出学习是“在原有图式的基础上构建新的认知图式”. 奥苏贝尔的先行组织者策略把新的学习内容的要素与已有认知结构中特别相关的部分联系起来。 布卢姆的学习理论认为学生的认知状态和情感特征是学习的条件。[4]
　　
　　关注学生的已有活动经验，才能促成学习意义感的生成。 学生已有的活动经验包括当前的认知水平和状态、数学学习的情感体验和校外的生活经验。在少数民族地区中学数学教学中，关注民族语言文化背景下的学生活动经验，开发和利用少数民族民俗数学中的课程资源，从少数民族传统服饰、建筑和手工艺品中发掘图形的基本形体结构和变化特点，以此作为图形与几何教学的资源。
　　
　　第一，在学生已有的经验基础上，确定教学目标，选取学习任务。教师通过预评估结合形成性评价方式，了解学生已有的经验和学习的需要，选取学生“最近发展区”的任务。
　　
　　这样能有效调动学生的学习动机，帮助学生基于已有经验建构自我的经验网络。第二，课堂教学中的学生活动经验的形成。假设数学教学只是符号到符号、概念到概念、定理到定理，那么学生学习只会变得满足与被动接受，因此就失去了学习的责任感和批判质疑的精神。事实上，学生活动经验的形成，有赖于数学教学中“穿插基于经验背景的描述，以及立足经验背景的验证”,教师应有意识地“帮助学生积累基于原点思考问题的经验，以及借助直观判断问题的经验”[5].
　　
　　例如，概念教学要明确概念的来龙去脉：概念产生的原因；从一类事物中抽象共同本质属性形成概念的过程；新旧概念之间的关联；下定义与相关符号的规定。教师从数学在发明和发现过程中获得教学的启发，帮助学生在“再创造”的活动过程中形成经验。同时，教师还要运用多样化的表征方式，从行为表征、图像表征上升到符号表征，实现三种表征的有机结合，给学生的数学理解以“画面感”和结构感。第三，教师对于学生不足和错误的经验给予重视和积极的回应。学习是自我认知结构不断解构和建构的过程。[6]
　　
　　发现和处理好学生经验的不足和错误，促进学生数学学习自我反思。
　　
　　借助学生已有经验的课堂回应方式，启发学生的创新思维，帮助学生体会到独立思维在数学学习中的意义和价值。
　　
　　4.3 创建良好的数学学习共同体，在交流与表达中培养能力。
　　
　　调查结果表明，学生对数学学习有兴趣，也愿意参与课堂活动。而课堂观察也反映了学生的课堂表现，即踊跃回答和善于展示自我。 教师思考的问题是引导学生的向上数学学习情绪和数学学习深度发展的实效性。
　　
　　第一，创建平等的师生和生生关系的良好数学学习共同体。学习共同体中，教师作为活动的参与者和倾听者，关注和尊重学生学习过程的反馈，提高课堂教学设计的有效性，将课堂引向小组合作交流轨道上，为学生提供自由表达的机会。第二，以问题为导向，教师教学提出有深度的问题，呈现层次性和开放性以及结合具体的“问题串”展开，让学生愿意参与课堂的对话和交流活动。 这里的深度不是指难度，而是有效调动学生思维的“跳一跳，够得到”问题。第三，运用多种方式培养学生的数学表达与交流能力。 指导学生数学阅读，提高学生数学阅读能力的可行方法。阅读指导涉及阅读材料中自然语言的词汇、句型和语法以及数学符号、图表和图像的理解。学生在“数学写作”[7]的自我叙述、自我阐释和自我表达中提升数学交流与表达能力“.数学写作”
　　
　　包括写数学日志、解决数学问题、解释数学想法和阐述数学学习过程。 鼓励学生用自己的语言清楚表达观点以及问题解决的思维过程和对数学的理解；关注学生写作的内容，而不是写作的手法；重视数学学习过程中的探究、发展和组织数学思考的过程“.数学写作”在数学学习中，帮助学生组织和整理自己的思维方法解决问题、阐释概念，提高数学书面表达能力和评价数学学习的水平。
　　
　　参考文献：
　　
　　[1] 自治区党委南疆教育质量提升工作推进会在喀什召开[EB/OL].（2016 -02 -24）。　　
　　[2] Biggs J B,Collis K F.学习质量评价 SOLO 分类理论[M].北京：人民教育出版社，2010:27-32.　　
　　[3] 李士锜，李业平。课程教师课堂---中美数学课程改革比较和研究[M].北京：北京师范大学出版社，2015:93.　　
　　[4] 施良方。学习论[M].北京：人民教育出版社，2001:184,239,332.
　　[5] 史宁中。数学思想概论第 4 辑：数学中的归纳推理[M].长春：东北师范大学出版社，2015:236.
　　[6] 安德烈·焦尔当。学习的本质[M].杭零，译。上海：华东师范大学出版社，2015:93.　　
　　[7] Marilyn Burns.Writing! Writing in Math-Mathematics assignments that require students to write lead to clear thinkingand deep learning [J]. Educational Leadership,2004,62（2）。